[导读] 一、 线性系统微分方程线性的证明 线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。所以,要证明线性系统的微分方程是否是线性的,
一、 线性系统微分方程线性的证明
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线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。所以,要证明线性系统的微分方程是否是线性的,就必须证明它是否同时满足齐次性与叠加性。
线性系统微分方程的一般形式是
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(2-5)
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设该方程对输入f1(t)的解是y1(t),则有
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(2-6)
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设该方程对输入f2(t)的解是y2(t),则有
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(2-7)
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给式(2-6)等号两端同乘以任意常数A1,给式(2-7)等号两端同乘以任意常数A2,则有
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将此两式相加即有
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这就是说,若 f1(t) y1(t), f2(t) y2(t) 则 A1f1(t)+A2f2(t) A1y1(t)+A2y2(t),即式(2-5)所描述的系统是线性的。
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二、 系统微分方程的解——系统的全响应
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求系统微分方程的解,实际上就是求系统的全响应y(t)。系统微分方程的解就是系统的全响应y(t)。线性系统的全响应y(t),可分解为零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)的叠加,即 。下面证明此结论。
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在图2-2中,若激励f(t)=0,但系统的初始条件不等于零,此时系统的响应即为零输入响应yx(t),如图2-4(a)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为:
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(2-8)
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在图2-2中,若激励 ,但系统的初始条件等于零(即为零状态系统),此时系统的响应即为零状态响应yf(t),如图2-4(b)所示。根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为
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(2-9)
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将式(2-8)与式(2-9)相加得
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即
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式中
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可见 确是系统微分方程(2-5)的解。这个结论提供了求系统全响应y(t)的途径和方法,即先分别求出零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t),然后再将yx(t)与yf(t)叠加,即得系统的全响应y(t),即 。这种方法称为零输入零状态法。
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