多速率转换信号频谱研究

摘要 在现有工作的基础上利用傅里叶变换的定义，推导了整数倍抽取和整数倍零值内插后信号的频谱，并结合仿真实验验证了抽取和零值内插对信号频谱的影响，通过大量的仿真实验分析说明了多速率转换应注意的问题。
关键词 抽取：插值：频谱：傅里叶变换

    —个实际数字系统往往要求能够工作在多采样率状态。多采样率转换是指对—个已知采样频率的信号进行重新抽样，使之变为一个新采样频率的信号，若新采样频率比原来的小，将此频率转换的过程称作抽取，否则，称之为内插。多采样率转换是正交频分复用(OFDM)的一项关键技术，在很多数字信号处理教科书中都有介绍，但对多速率转换引起的频谱变化分析研究不够透彻。文中在已有工作的基础上利用傅里叶变换的定义推导了抽取和插值后信号的频谱变化。

1 信号整数倍抽取
    已知连续信号为x(t)，以采样率F1=1／T1(T1为采样的间隔)进行等间隔采样得到x(n)，M倍抽取后得到信号为y(n)，则抽取后序列对应的采样率F2=1／T2，其中，T2=MT1，则有


    从式(5)可以看出，整数倍抽取序列的数字谱是原序列x(n)的频谱沿频率轴扩展M倍且平移间隔为2π／M的M个平移样本的迭加谱。
    如果输入信号的频谱>π／M，将会混叠，会给抽取信号的频谱带来失真，因为抽取信号的采样速率不允许降到奈奎斯特采样速率以下，因此在抽取前应进行“反混淆”滤波，该低通滤波器的截止频率为π／M。

    令“反混叠”低通滤波器为理想滤波器
   

2 信号整数倍插值

    由式(9)可知，插值后信号频谱是原信号频谱的L：1压缩。在实际的插值过程中，“插零”后还要经过低通滤波，滤波的目的在于消除填零过程引起的“复制”。滤波采用理想的低通滤波器，其频响为
   
    插值信号的频谱为原信号沿频率周压缩L：1。

3 计算机仿真
    信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)，f1=15 Hz，f2=20 Hz，以采样频率fs=100 Hz，等间隔采样N=256点，得到信号x(n)。为验证抽取和插值对频谱的影响，做如下仿真。

    对x(n)进行M=2倍抽取，得y(n)=x(2n)。

    对x(n)进行M=2倍抽取，得z(n)=x(4n)。

    从图1～图3可以看出，M=2倍抽取采样频率为50 Hz满足采样频率，抽取后频率估计正确，M=4倍抽取采样频率为25 Hz，不满足采样定理，存在频谱混叠现象，频率估计出错。对比图1和图2可以看出，M=2倍抽取后，数字域频率展宽为原来的2倍。
    对x(n)进行L=4倍零值内插，得信号。

    其经过的理想滤波器滤波后的频谱如图5所示。

    对z(n)进行L=4零值内插，得。
    从图4和图5看出，信号4倍零值内插后的频谱出现3个高频镜像谱，经低通滤波后数字域频谱压缩为原来的1／4。从图6看出，对不满足采样定理的信号z(n)进行4倍零值内插后，仍然存在频谱混叠。

4 结束语
    在整数倍抽取时，信号必须要满足频率采样定理，才能使抽取后信号不发生频谱混叠现象，所得序列频谱为原序列频谱横轴M倍扩展。零值内插序列的频谱是原序列频谱延拓L倍，让其频谱信号通过一个低通滤波器，就可以得到有用的频率分量，其频谱横轴压缩为原来的1／L。